<html>
 <head>
  <meta charset="utf-8"/>
  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, maximum-scale=1, user-scalable=no" name="viewport"/>
  <title>
   ZuoChen: 比率估计为什么精确  | 数螺 | NAUT IDEA
  </title>
  <link href="http://cdn.bootcss.com/bootstrap/3.3.6/css/bootstrap-theme.min.css" rel="stylesheet"/>
  <link href="http://cdn.bootcss.com/bootstrap/3.3.6/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet"/>
  <style type="text/css">
   #xmain img {
                  max-width: 100%;
                  display: block;
                  margin-top: 10px;
                  margin-bottom: 10px;
                }

                #xmain p {
                    line-height:150%;
                    font-size: 16px;
                    margin-top: 20px;
                }

                #xmain h2 {
                    font-size: 24px;
                }

                #xmain h3 {
                    font-size: 20px;
                }

                #xmain h4 {
                    font-size: 18px;
                }


                .header {
	           background-color: #0099ff;
	           color: #ffffff;
	           margin-bottom: 20px;
	        }

	        .header p {
                  margin: 0px;
                  padding: 10px 0;
                  display: inline-block;  
                  vertical-align: middle;
                  font-size: 16px;
               }

               .header a {
                 color: white;
               }

              .header img {
                 height: 25px;
              }
  </style>
  <script src="http://cdn.bootcss.com/jquery/3.0.0/jquery.min.js">
  </script>
  <script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript">
   MathJax.Hub.Config({
          tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]},
          TeX: {equationNumbers: {autoNumber: "AMS"}}
        });
  </script>
  <script src="http://nautstatic-10007657.file.myqcloud.com/static/css/readability.min.js" type="text/javascript">
  </script>
  <script type="text/javascript">
   $(document).ready(function() {
                 var loc = document.location;
                 var uri = {
                  spec: "http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/",
                  host: "http://cos.name",
                  prePath: "http://cos.name",
                  scheme: "http",
                  pathBase: "http://cos.name/"
                 };
    
                 var documentClone = document.cloneNode(true);
                 var article = new Readability(uri, documentClone).parse();
     
                 document.getElementById("xmain").innerHTML = article.content;
                });
  </script>
  <!-- 1466466298: Accept with keywords: (title(0.2):中国,比率,服务平台,门户网站,统计学, topn(0.6):概率,方差,统计学,R语言,偏离,教材,拒绝域,估计量,总体,结果,假设,理论,均值,样本均值,分母,文章,数据,正态分布,抽样,变量,样本,检验,问题,样本量,区间,趋向于,评论,比例,无法,比率).-->
 </head>
 <body class="single single-post postid-1107 single-format-standard sidebar" onload="">
  <div class="header">
   <div class="container">
    <div class="row">
     <div class="col-xs-6 col-sm-6 text-left">
      <a href="/databee">
       <img src="http://nautidea-10007657.cos.myqcloud.com/logo_white.png"/>
      </a>
      <a href="/databee">
       <p>
        数螺
       </p>
      </a>
     </div>
     <div class="hidden-xs col-sm-6 text-right">
      <p>
       致力于数据科学的推广和知识传播
      </p>
     </div>
    </div>
   </div>
  </div>
  <div class="container text-center">
   <h1>
    ZuoChen: 比率估计为什么精确
   </h1>
  </div>
  <div class="container" id="xmain">
   <div class="hfeed site" id="page">
    <header class="site-header" id="masthead" role="banner">
     <div id="cos-logo">
      <a href="http://cos.name/">
       <img src="http://cos.name/wp-content/themes/COS-kermesinus/images/headers/cos-logo.png"/>
      </a>
     </div>
     <div class="navbar" id="navbar">
      <nav class="navigation main-navigation" id="site-navigation" role="navigation">
       <h3 class="menu-toggle">
        菜单
       </h3>
       <a class="screen-reader-text skip-link" href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/#content" title="跳至内容">
        跳至内容
       </a>
       <div class="menu-%e6%88%91%e7%9a%84%e8%8f%9c%e5%8d%95-container">
        <ul class="nav-menu" id="menu-%e6%88%91%e7%9a%84%e8%8f%9c%e5%8d%95">
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-home menu-item-4746" id="menu-item-4746">
          <a href="http://cos.name">
           主页
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-has-children menu-item-8120" id="menu-item-8120">
          <a href="http://cos.name/cn">
           论坛
          </a>
          <ul class="sub-menu">
           <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8124" id="menu-item-8124">
            <a href="http://cos.name/cn/wp-login.php?action=register">
             论坛注册
            </a>
           </li>
           <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8125" id="menu-item-8125">
            <a href="http://cos.name/cn/wp-login.php">
             论坛登录
            </a>
           </li>
          </ul>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-post_type menu-item-object-page menu-item-8110" id="menu-item-8110">
          <a href="http://cos.name/books/">
           图书资料
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8112" id="menu-item-8112">
          <a href="http://cos.name/videos">
           视频教程
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8333" id="menu-item-8333">
          <a href="http://cos.name/salon/">
           统计沙龙
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-post_type menu-item-object-page menu-item-8111" id="menu-item-8111">
          <a href="http://cos.name/chinar/">
           R语言会议
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-post_type menu-item-object-page menu-item-8109" id="menu-item-8109">
          <a href="http://cos.name/training/">
           讲座与培训
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8115" id="menu-item-8115">
          <a href="http://cos.name/cn/forum/comprehensive/job/">
           招聘信息
          </a>
         </li>
         <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-has-children menu-item-4780" id="menu-item-4780">
          <a href="http://cos.name/about">
           关于我们
          </a>
          <ul class="sub-menu">
           <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8113" id="menu-item-8113">
            <a href="http://cos.name/2008/11/how-to-work-with-cos/">
             加入我们
            </a>
           </li>
           <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8119" id="menu-item-8119">
            <a href="http://cos.name/donate/">
             赞助我们
            </a>
           </li>
           <li class="menu-item menu-item-type-custom menu-item-object-custom menu-item-8114" id="menu-item-8114">
            <a href="http://cos.name/cn/forum/26">
             项目合作
            </a>
           </li>
          </ul>
         </li>
        </ul>
       </div>
       <form action="http://cos.name/" class="search-form" method="get" role="search">
        <label>
         <span class="screen-reader-text">
          搜索：
         </span>
        </label>
       </form>
      </nav>
      <!-- #site-navigation -->
     </div>
     <!-- #navbar -->
    </header>
    <!-- #masthead -->
    <div class="site-main" id="main">
     <div class="content-area" id="primary">
      <div class="site-content" id="content" role="main">
       <article class="post-1107 post type-post status-publish format-standard hentry category-sampling category-featured category-classical category-inference tag-241 tag-242 tag-240 tag-244 tag-239 tag-243" id="post-1107">
        <header class="entry-header">
         <h1 class="entry-title">
          比率估计为什么精确
         </h1>
         <div class="entry-meta">
          <span class="date">
           <a href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/" rel="bookmark" title="链向比率估计为什么精确的固定链接">
            <time class="entry-date" datetime="2009-06-01T09:33:27+00:00">
             2009/06/01
            </time>
           </a>
          </span>
          <span class="categories-links">
           <a href="http://cos.name/category/classical/sampling/" rel="category tag">
            抽样调查
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/category/website/featured/" rel="category tag">
            推荐文章
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/category/classical/" rel="category tag">
            经典理论
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/category/classical/inference/" rel="category tag">
            统计推断
           </a>
          </span>
          <span class="tags-links">
           <a href="http://cos.name/tag/%e4%bc%b0%e8%ae%a1/" rel="tag">
            估计
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e6%8a%bd%e6%a0%b7/" rel="tag">
            抽样
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e6%96%b9%e5%b7%ae/" rel="tag">
            方差
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e6%a8%a1%e6%8b%9f/" rel="tag">
            模拟
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e6%af%94%e7%8e%87/" rel="tag">
            比率
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e8%be%85%e5%8a%a9%e5%8f%98%e9%87%8f/" rel="tag">
            辅助变量
           </a>
          </span>
          <span class="author vcard">
           <a class="url fn n" href="http://cos.name/author/annihiland/" rel="author" title="查看所有由左辰发布的文章">
            左辰
           </a>
          </span>
         </div>
         <!-- .entry-meta -->
        </header>
        <!-- .entry-header -->
        <div class="entry-content">
         <h2>
          一、比率的方差估计式
         </h2>
         <p>
          比率估计量是抽样技术理论里一大重要估计量，其定义为两个总体总量或总体均值之比。借助适当的辅助变量，比率估计也可以得到主要变量的参数估计
         </p>
         <p>
          由于通过辅助变量实质上引入了更多的信息，因此有理由
          <strong>
           猜测
          </strong>
          比率估计量可能更加精确。但是比率估计的方差和简单估计相比所谓的改进是否确切的存在，即使存在，改进的程度又有多大呢？
         </p>
         <p>
          记总体大小为$N$，抽样大小为$n$,抽样比例为$f=\frac{n}{N}$,辅助变量的总体值为$ X_1,X_2,…,X_N$,样本值为$x_1,x_2,…,x_n$：主要变量的总体值为$Y_1,Y_2,…,Y_N$,样本值为$y_1,y_2,…,y_n$。教材上常见的一个估计式是：
         </p>
         <p>
          $ Var(\hat R) \approx \frac{1-f}{\overline{X} n (N-1)}\sum(Y_i – R X_i)^2$
          <br/>
          据此，可以给出主要变量相应参数的估计方差。以总体总值为例：
         </p>
         <p>
          $Var(\hat{Y}) =Var(\hat{R}N \overline{X}) \approx \frac{1-f}{n}\frac{1}{N-1} \sum (Y_i-RX_i)^2 $
         </p>
         <p>
          注意到上式使用了$\approx$而不是“＝”；也就是说是一个近似值。更确切地说，上式估计的只是一个方差下界，因为上式右端实质上是$ Var(\frac{\overline{y}}{\overline{X}}) $;而$\hat{R}=\frac{\overline{y}}{\overline{x}}$。可以看到，比率估计$\hat{R}$方差包括分子、分母两部分波动因素，而估计式中忽略了分母部分的波动，因此得到的方差估计是偏小的。
         </p>
         <p>
          要使等号严格成立的条件是：
         </p>
         <p>
          $\overline{x} = \overline{X},a.s.$
         </p>
         <p>
          在有限总体的情况下，表示辅助变量恒为定值。注意：此时辅助变量已经没有意义了，因为它不能带来更多的信息，比率估计量与简单估计量的精度是完全相同的。
         </p>
         <p>
          实际应用的时候，为了使方差估计式成立，我们也必须保证：
         </p>
         <p>
          $\overline{x} \approx \overline{X}$
         </p>
         <p>
          即样本均值$\overline{x}$总在$\overline{X}$附近波动，且波动范围很小。在这种情况下，辅助变量的意义也很小.
         </p>
         <p>
          这就是矛盾的所在：
          <strong>
           比率估计量的方差估计严格成立的场合，也是比率估计量失去应用价值的时候。
          </strong>
         </p>
         <h2>
          二、一个模拟的例子
          <strong>
           <br/>
          </strong>
         </h2>
         <p>
          在样本均值$\overline{x}$波动比较大的时候，比率估计的方差究竟有多大的改进呢？对于这个问题，可以用统计模拟来实现。
         </p>
         <p>
          我的例子如下：数据来源是人民大学版的《抽样技术》例题4.3，估计33个乡的粮食总产量，抽样得到10个乡粮食产量Y，耕地面积X，村的数量M。Y= (22, 22.8, 30.2, 21.7, 24.3, 31.2, 26, 20.5, 33.8, 23.6)，X= (800, 780, 1000, 700, 880, 1100, 850, 800, 1200, 830)，M＝ (15, 18, 26, 14, 20, 28, 21, 19, 31, 17)。
         </p>
         <p>
          我们可以比较三种方法估计的理论方差：简单估计，以耕地面积作辅助变量的比率估计，以村数量作辅助变量的比率估计。因为总体数据未知，我首先以有放回的抽样模拟一个样本量为33的数据；然后枚举所有可能抽样组合，计算三种估计量。另一方面，对于每种抽样结果，我也采用方差估计式求方差估计值。最后可以将不同方差进行比较。考虑到计算量的问题，仅模拟了样本量为5的情形.
         </p>
         <p>
          考虑到数据量大，在生成全组合时，采用了字典排序的算法，(可参见
          <a href="http://www.blogjava.net/stme/archive/2007/10/23/94361.html" target="_blank">
           http://www.blogjava.net/stme/archive/2007/10/23/94361.html
          </a>
          )
         </p>
         <pre class="brush: r">#放回抽样，生成总体数据
INDEX = sample(1:10, 33, rep = T)
M = c(15, 18, 26, 14, 20, 28, 21, 19, 31, 17)[INDEX]
Y = c(22, 22.8, 30.2, 21.7, 24.3, 31.2, 26, 20.5,
    33.8, 23.6)[INDEX]
X = c(800, 780, 1000, 700, 880, 1100, 850, 800, 1200,
    830)[INDEX]
#总体总值计算
M0 = sum(M)
X0 = sum(X)
y.simple &lt;- y.m &lt;- y.x &lt;- var.m &lt;- var.x &lt;- NULL

index = c(rep(1, 5), rep(0, 28))

y.simple = c(y.simple, 33 * sum(Y_M * index)/5)
R.m = sum(Y * index)/sum(M * index)
R.x = sum(Y * index)/sum(X * index)
y.m = c(y.m, M0 * R.m)
y.x = c(y.x, X0 * R.x)
var.m = c(var.m, sum((Y[index == 1] - R.m * M[index ==
    1])^2))
var.x = c(var.x, sum((Y[index == 1] - R.x * X[index ==
    1])^2))

i = 1
j = 0
while (prod(index[29:33]) != 1) {
    while (i &lt; 33) {
        if (index[i] == 1 &amp; index[i + 1] == 0) {
            index[i] = 0
            index[i + 1] = 1
            k = sum(index[1:(i - 1)])
            if (k &gt; 0) {
                index[1:k] = 1
                index[(k + 1):i] = 0
            }
            y.simple = c(y.simple, 33 * sum(Y * index)/5)
            R.m = sum(Y * index)/sum(M * index)
            R.x = sum(Y * index)/sum(X * index)
            y.m = c(y.m, M0 * R.m)
            y.x = c(y.x, X0 * R.x)
            var.m = c(var.m, sum((Y[index == 1] - R.m * M[index ==
                1])^2))
            var.x = c(var.x, sum((Y[index == 1] - R.x * X[index ==
                1])^2))
            i = 1
            j = j + 1
            print(j)
        }
        else {
            i = i + 1
        }
    }
}
var.m = var.m/4 * (1/5 - 1/33) * 33 * 33
var.x = var.x/4 * (1/5 - 1/33) * 33 * 33  # simple sampling
&gt; mean(y.simple)
[1] 844.8968
&gt; var(y.simple)
[1] 2678.197
 #ratio with respect to M
&gt; mean(y.m)
[1] 847.828
&gt; var(y.m)
[1] 1156.886
&gt; mean(var.m)
[1] 1111.191
 #ratio with respect to X
&gt; mean(y.x)
[1] 844.9335
&gt; var(y.x)
[1] 221.964
&gt; mean(var.x)
[1] 220.7296</pre>
         <p>
          模拟的均值估计结果为：三种方法均值估计为：844.90, 847.83, 844.93;方差为2678.20, 1156.89, 221.96;方差估计的期望为2678.20, 1111.19, 220.73。
         </p>
         <p>
          这个结果有些出人意料：虽然采用方差估计式得到了低估的结果，但是低估的程度很低，甚至可以忽略不计。也就是说，即使在样本均值波动比较大的场合，比率方差估计的偏误并不大。
         </p>
         <p>
          这就启示我们对方差估计式的含义重新思考。
         </p>
         <h2>
          三、方差估计式的另一种解释
         </h2>
         <p>
          比率估计量的偏误为：
         </p>
         <p>
          $E(\frac{\overline y -R \overline x}{\overline x})^2=E( \frac{\overline y -R \overline x}{\overline X})^2 (\frac{\overline X}{\overline x})^2 $
         </p>
         <p>
          如果假设每次抽样的残差$\overline y -R \overline x$都是一个与 $ \overline x$独立的随机变量，则有：
         </p>
         <p>
          $E(\frac{\overline y -R \overline x}{\overline x})=E(\frac{\overline y-R \overline x}{\overline X})^2E(\frac{\overline X}{\overline x})^2$
         </p>
         <p>
          由Jensen不等式，得到
         </p>
         <p>
          $E(\frac{\overline X}{\overline x})^2 \geq \frac{\overline X ^2}{E ^2 \overline x }=1$
         </p>
         <p>
          这解释了方差确实存在低估的，而且低估的比例为$ E(\overline X^2 / \overline x^2)$。
         </p>
         <p>
          采用之前模拟的例子计算这个比例，得到利用耕地面积作辅助变量的抽样方差为121356，但是方差的低估比例仅为1.0035。用此比例修正方差估计，结果为221.51,和真实值221.96几乎相同。
         </p>
         <p>
          由此可见，
          <strong>
           即使在辅助变量波动较大，样本两较小，辅助变量抽样均值$\overline x$方差较大的情形，方差低估的比例也可能是很低的，所以采用方差估计式依然可以得到较好的结果。
          </strong>
         </p>
         <h2>
          四、题外话
         </h2>
         <p>
          这个问题给我们的启示：统计学归根结底离不开数学，定量的分析才能给予问题严格的解决。
         </p>
         <p>
          关于定性和定量的话题，让我想到关于正态分布均值的T检验问题，有的统计学教材上刻意强调了这样一句话：当样本量无限增大的时候，检验结果总是趋向于拒绝。果真如此吗？
         </p>
         <p>
          上述论断的依据是：随着样本两n的增大，样本均值方差$s^2/n \rightarrow 0$，所以非拒绝域 $(\overline x -t_{\alpha/2}s/\sqrt n,\overline x+t_{\alpha/2}s/\sqrt n)$收缩为一点，因此该拒绝域包括均值$\mu$的可能性为零。
         </p>
         <p>
          事实上，该论断的谬误是显而易见的：虽然样本方差趋向于零，但是拒绝域包括均值的概率是恒定不变的，这是由拒绝域的构造得到的：
         </p>
         <p>
          $Pr\{\mu \in (\overline x -t_{\alpha/2}s/\sqrt n,\overline x+t_{\alpha/2}s/ \sqrt n) \} \equiv 1-\alpha$
         </p>
         <p>
          即使在大样本情形，虽然均值方差趋近于0，非拒绝域的区间非常短，但是只要样本服从原假设下的正态分布，样本均值偏离真实值的可能性也会很小。大数定律告 诉我们，在大样本的情形，样本均值哪怕偏离一丝一毫的概率都为0。因此，哪怕样本均值只有很小的偏离，拒绝零假设也是没有任何问题的。
         </p>
         <p>
          这就再次说明定量分析的重要。
         </p>
         <div class="wumii-hook">
          <br/>
          <br/>
         </div>
        </div>
        <!-- .entry-content -->
        <footer class="entry-meta">
         <div class="author-info">
          <div class="author-avatar">
           <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/094811e0659b7a20ba5ba713ef2d5439?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
          </div>
          <!-- .author-avatar -->
          <div class="author-description">
           <h2 class="author-title">
            关于左辰
           </h2>
           <p class="author-bio">
            左辰，
University of Wisconsin Madison，
PhD in Statistics,
学术兴趣：数理统计，概率论
            <a class="author-link" href="http://cos.name/author/annihiland/" rel="author">
             查看所有由左辰发表的文章
             <span class="meta-nav">
              →
             </span>
            </a>
           </p>
          </div>
          <!-- .author-description -->
         </div>
         <!-- .author-info -->
        </footer>
        <!-- .entry-meta -->
       </article>
       <!-- #post -->
       <nav class="navigation post-navigation" role="navigation">
        <h1 class="screen-reader-text">
         文章导航
        </h1>
        <div class="nav-links">
         <a href="http://cos.name/2009/05/how-to-design-an-experiment/" rel="prev">
          <span class="meta-nav">
           ←
          </span>
          如何设计一个试验
         </a>
         <a href="http://cos.name/2009/06/correlation-and-regression/" rel="next">
          漫谈相关与回归
          <span class="meta-nav">
           →
          </span>
         </a>
        </div>
        <!-- .nav-links -->
       </nav>
       <!-- .navigation -->
       <div class="comments-area" id="comments">
        <h2 class="comments-title">
         《
         <span>
          比率估计为什么精确
         </span>
         》有7个想法
        </h2>
        <ol class="comment-list">
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-631">
          <article class="comment-body" id="div-comment-631">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/62b5e49d0d3058fc1e5c784dd8e51727?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              jah
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/#comment-631">
              <time datetime="2009-06-01T12:04:57+00:00">
               2009/06/01 12:04
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             赞
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给jah" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/?replytocom=631#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-631", "631", "respond", "1107" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1 parent" id="comment-632">
          <article class="comment-body" id="div-comment-632">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/3f2e77c9fe6865ad87c5f7857d9c88d2?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              缰
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/#comment-632">
              <time datetime="2009-06-01T20:40:58+00:00">
               2009/06/01 20:40
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             这么好的文章只发一个“赞”字岂不是浪费？不引发出一些思考和讨论就可惜了。
             <br/>
             关于第一点的最后一段话，我个人其实觉得并不一定是这样。因为在比率估计中真正有用的信息并不只是xbar或Xbar的取值，而应该还包括X与Y之间的相关关系。换句话说，我们持有着这样一种假定，那就是X与Y之间有着很稳定的关系，或者说两者之间有着很强的共性。如果我们通过观察发现xbar跟Xbar很接近，那么我们也会有把握认为ybar跟Ybar很接近，而这就体现了辅助变量的价值。
             <br/>
             当然了，我现在说的这些显然也属于定性的范畴，合理与否，也确实还有待定量的验证。
             <br/>
             而对于后面t检验的那个例子，我因为看的书太少所以没找到原话，但是就我的理解，这么说的本意应该不是针对理论上的情形，而是对实际的情况来说的。正如本文说的，只要样本服从精确的正态分布，那么毋庸置疑，不管样本方差怎么变，拒绝域包括均值的概率都是恒定不变的。但是实际的情况是，我们根本不可能在现实中得到这样完美的数据，因此只要实际的情况与理论分布有些许差异，那么样本均值就可能偏离真实值，但是理论上推出的结果不允许存在这样的偏差，因为这一点点的偏离就足以拒绝原假设。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给缰" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/?replytocom=632#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-632", "632", "respond", "1107" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-annihiland bypostauthor even depth-2" id="comment-642">
            <article class="comment-body" id="div-comment-642">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/094811e0659b7a20ba5ba713ef2d5439?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                <a class="url" href="http://blog.sina.com.cn/annihiland" rel="external nofollow">
                 左辰
                </a>
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/#comment-642">
                <time datetime="2009-06-02T19:15:29+00:00">
                 2009/06/02 19:15
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               确实，比率估计提高的因素主要就是你说的这个原因。模拟结果已经证明了这一点，可以参见三种方差的真实值的比较。
               <br/>
               这篇文章主要是讨论了采用近似的方差估计究竟造成多大的低估，即分母波动程度究竟会对方差估计产生多大的影响。所以才做了这个模拟实验。结果验证了在实际情况中这种波动确实是可以忽略的。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给左辰" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/?replytocom=642#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-642", "642", "respond", "1107" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment byuser comment-author-yihui odd alt thread-even depth-1" id="comment-637">
          <article class="comment-body" id="div-comment-637">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/1022d8e6ebc94e8f6bca9a86cebe312a?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://www.yihui.name" rel="external nofollow">
               谢益辉
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/#comment-637">
              <time datetime="2009-06-01T22:20:43+00:00">
               2009/06/01 22:20
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             我也隐约记得某本教材是这么说的，理论上这句话肯定是错的，但理论是假设了正态分布的，在这个前提下不存在什么“区间缩小以至于不太可能包含真实参数”的说法，数学公式是严格成立的；关键问题在于，假设前提是否真的成立，感兴趣的同志可以在各种分布的前提下做一下模拟，看这个t区间包含真实均值的概率多大。绝大多数分布的方差都是有限的，因此样本量增大导致区间倾向于缩小是必然的，而[latex]\bar{x}[/latex]是否以同样的速度趋近于[latex]\mu[/latex]则成了问题。如果那本教材能从这个角度解释，我可以接受，若光是简单地看分母趋向于无穷大，未免太鲁莽了。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给谢益辉" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/?replytocom=637#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-637", "637", "respond", "1107" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-659">
          <article class="comment-body" id="div-comment-659">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/b7b628e7ac8f56ec4ac16b6de5f37dcf?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://mini-whale.blogspot.com" rel="external nofollow">
               miniwhale
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/#comment-659">
              <time datetime="2009-06-05T12:51:14+00:00">
               2009/06/05 12:51
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             “当样本量无限增大的时候，检验结果总是趋向于拒绝”这句话究竟是对是错？
             <br/>
             首先左辰的分析是对的，无论n如何变大，“无法拒绝的区间”如何缩小，对应的概率永远为1-a，检验方法永远有效。而且功效曲线越来越陡峭，效果越来越好。
            </p>
            <p>
             但这句话的意思并非如此，它的本意是指由于“无法拒绝的区间”越来越下，以至于我们随便挑选的常数通常会落在拒绝区间这个现象。
             <br/>
             比如，总体u=100，我们随便挑选一个常数103。
             <br/>
             当n=10时，无法拒绝的区间为100±5，则无法拒绝u=103的假设
             <br/>
             当n=1000时，无法拒绝的区间为100±0.5，则可以拒绝u=103的假设
            </p>
            <p>
             可见，“当样本量无限增大的时候，检验结果总是趋向于拒绝”这句话的本意是指当样本量无限增大的时候，检验功效越来越好，拒绝区间越来越大，以至于它越来越能够拒绝“近似的假设”。
            </p>
            <p>
             别忘了，假设检验中，“拒绝”是有力的，“无法拒绝”是无奈的！
             <br/>
             通常，应该把我们真正想要的结论定为H1，然后拒绝H0，从而“认为”H1正确。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给miniwhale" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/?replytocom=659#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-659", "659", "respond", "1107" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-even depth-1 parent" id="comment-3510">
          <article class="comment-body" id="div-comment-3510">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/8023ce8adee9e07a2315c389eaff5a0a?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://liaolingname.blogspot.com/" rel="external nofollow">
               燎凌
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/#comment-3510">
              <time datetime="2012-12-10T20:57:45+00:00">
               2012/12/10 20:57
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             这篇文章我还没看完，但已经发现第一段“比率的方差估计” Var(R^)和var(Y)都是错误的嘛!第一公式简直是错的离谱嘛！平方去哪呢？n怎么又跑到了X均值的下面去了呢？第二个公式，N^2怎么不见了？
             <br/>
             难道是zuochen的约等号起的作用？
             <br/>
             看了后面几位大神的评论，都是好评。想必都不会看第一段吧，因为都是基础知识哈。
             <br/>
             想必后文必定精彩，今晚我来好好SEee.
             <br/>
             （抱歉我不知道评论里面如何打公式）
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给燎凌" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/?replytocom=3510#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3510", "3510", "respond", "1107" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment even depth-2" id="comment-3512">
            <article class="comment-body" id="div-comment-3512">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/8023ce8adee9e07a2315c389eaff5a0a?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                <a class="url" href="http://liaolingname.blogspot.com/" rel="external nofollow">
                 燎凌
                </a>
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/#comment-3512">
                <time datetime="2012-12-12T13:59:37+00:00">
                 2012/12/12 13:59
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               [code]不知天高=1[/code]
               <br/>
               [code]但知地厚=0[/code]
               <br/>
               [code]Sampling=不知天高+但知地厚[/code]
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给燎凌" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/?replytocom=3512#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3512", "3512", "respond", "1107" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
        </ol>
        <!-- .comment-list -->
        <div class="comment-respond" id="respond">
         <h3 class="comment-reply-title" id="reply-title">
          发表评论
          <small>
           <a href="http://cos.name/2009/06/why-ratio-estimation-is-more-accurate-in-sampling/#respond" id="cancel-comment-reply-link" rel="nofollow" style="display:none;">
            取消回复
           </a>
          </small>
         </h3>
         <form action="http://cos.name/wp-comments-post.php" class="comment-form" id="commentform" method="post" novalidate="">
          <p class="comment-notes">
           <span id="email-notes">
            电子邮件地址不会被公开。
           </span>
           必填项已用
           <span class="required">
            *
           </span>
           标注
          </p>
          <p class="comment-form-comment">
           <label for="comment">
            评论
           </label>
           <textarea aria-required="true" cols="45" id="comment" maxlength="65525" name="comment" required="required" rows="8">
           </textarea>
          </p>
          <p class="comment-form-author">
           <label for="author">
            姓名
            <span class="required">
             *
            </span>
           </label>
          </p>
          <p class="comment-form-email">
           <label for="email">
            电子邮件
            <span class="required">
             *
            </span>
           </label>
          </p>
          <p class="comment-form-url">
           <label for="url">
            站点
           </label>
          </p>
          <p class="form-submit">
          </p>
          <p style="display: none;">
          </p>
          <p style="display: none;">
          </p>
         </form>
        </div>
        <!-- #respond -->
       </div>
       <!-- #comments -->
      </div>
      <!-- #content -->
     </div>
     <!-- #primary -->
     <div class="sidebar-container" id="tertiary" role="complementary">
      <div class="sidebar-inner">
       <div class="widget-area">
        <aside class="widget widget_text" id="text-3">
         <h3 class="widget-title">
          关注统计之都
         </h3>
         <div class="textwidget">
          <ul>
           <li>
            新浪微博
            <a href="http://weibo.com/cosname">
             @统计之都
            </a>
           </li>
           <li>
            人人网
            <a href="http://renren.com/cosname">
             @统计之都
            </a>
           </li>
           <li>
            Twitter
            <a href="http://twitter.com/cos_name">
             @cos_name
            </a>
           </li>
          </ul>
         </div>
        </aside>
        <aside class="widget widget_text" id="text-6">
         <h3 class="widget-title">
          微信公众平台
         </h3>
         <div class="textwidget">
          <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/04/qrcode-8cm.jpg"/>
          <p style="font-size:12px;margin-left:15px">
           微信号 CapStat
          </p>
          <p>
           我们将第一时间向您推送主站和论坛的精彩内容，以及统计之都的线下活动、竞赛、培训和会议信息。
          </p>
         </div>
        </aside>
        <aside class="widget widget_text" id="text-8">
         <h3 class="widget-title">
          站内导航
         </h3>
         <div class="textwidget">
          <ul>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/cn/">
             中文论坛
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/videos/">
             视频
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/salon/">
             统计沙龙
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/books/">
             图书出版
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/training/">
             教育培训
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/about/">
             关于我们
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/donate/">
             捐赠
            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
            <a href="http://cos.name/chinar/">
             R语言会议
            </a>
           </li>
          </ul>
         </div>
        </aside>
        <aside class="widget widget_links" id="linkcat-2">
         <h3 class="widget-title">
          友情链接
         </h3>
         <ul class="xoxo blogroll">
          <li>
           <a href="http://stat.ruc.edu.cn" target="_blank" title="中国人民大学统计学院网站">
            中国人民大学统计学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://rucdmc.net">
            中国人民大学数据挖掘中心
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://birc.gsm.pku.edu.cn/" target="_blank">
            北京大学商务智能研究中心
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://sam.cufe.edu.cn/" target="_blank" title="中央财经大学统计与数学学院网站">
            中央财经大学统计与数学学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://tjx.cueb.edu.cn/" target="_blank" title="首都经济贸易大学统计学院网站">
            首经贸统计学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://www.shookr.com/">
            数客网大数据社区
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://www.xueqing.tv/" target="_blank" title="数据科学在线学习平台">
            雪晴数据网
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://iera.name/" target="_blank" title="IERA是一个旨在普及、传播和增进工业工程知识的非营利性网站">
            IERA（直通IE）
           </a>
          </li>
         </ul>
        </aside>
        <aside class="widget widget_categories" id="categories-2">
         <h3 class="widget-title">
          全部分类
         </h3>
         <label class="screen-reader-text" for="cat">
          全部分类
         </label>
         <select class="postform" id="cat" name="cat">
          <option value="-1">
           选择分类目录
          </option>
          <option class="level-0" value="925">
           cos访谈  (4)
          </option>
          <option class="level-0" value="659">
           图书出版  (5)
          </option>
          <option class="level-0" value="379">
           数学方法  (14)
          </option>
          <option class="level-1" value="381">
           分析与代数  (1)
          </option>
          <option class="level-1" value="380">
           概率论  (9)
          </option>
          <option class="level-1" value="382">
           随机过程  (5)
          </option>
          <option class="level-0" value="210">
           数据分析  (81)
          </option>
          <option class="level-1" value="203">
           多元统计  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="42">
           数据挖掘与机器学习  (42)
          </option>
          <option class="level-1" value="36">
           生物与医学统计  (17)
          </option>
          <option class="level-1" value="35">
           计量经济学  (4)
          </option>
          <option class="level-1" value="296">
           金融统计  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="303">
           风险精算  (7)
          </option>
          <option class="level-0" value="177">
           模型专题  (15)
          </option>
          <option class="level-1" value="38">
           回归分析  (10)
          </option>
          <option class="level-1" value="41">
           时间序列  (2)
          </option>
          <option class="level-0" value="784">
           每周精选  (24)
          </option>
          <option class="level-1" value="183">
           可视化  (9)
          </option>
          <option class="level-0" value="967">
           沙龙纪要  (3)
          </option>
          <option class="level-0" value="18">
           经典理论  (46)
          </option>
          <option class="level-1" value="37">
           抽样调查  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="4">
           统计推断  (26)
          </option>
          <option class="level-1" value="236">
           试验设计  (7)
          </option>
          <option class="level-1" value="39">
           非参数统计  (3)
          </option>
          <option class="level-0" value="1">
           统计之都  (279)
          </option>
          <option class="level-1" value="884">
           中国R会议  (2)
          </option>
          <option class="level-1" value="885">
           中国R语言会议  (5)
          </option>
          <option class="level-1" value="446">
           出国留学  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="179">
           推荐文章  (90)
          </option>
          <option class="level-1" value="3">
           新闻通知  (75)
          </option>
          <option class="level-1" value="263">
           统计刊物  (10)
          </option>
          <option class="level-1" value="174">
           网站导读  (40)
          </option>
          <option class="level-1" value="204">
           职业事业  (51)
          </option>
          <option class="level-1" value="213">
           高校课堂  (9)
          </option>
          <option class="level-0" value="178">
           统计计算  (28)
          </option>
          <option class="level-1" value="40">
           优化与模拟  (15)
          </option>
          <option class="level-1" value="43">
           贝叶斯方法  (6)
          </option>
          <option class="level-0" value="378">
           软件应用  (116)
          </option>
          <option class="level-1" value="44">
           统计图形  (36)
          </option>
          <option class="level-1" value="110">
           统计软件  (83)
          </option>
         </select>
        </aside>
        <aside class="widget widget_recent_comments" id="recent-comments-2">
         <h3 class="widget-title">
          最新评论
         </h3>
         <ul id="recentcomments">
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            fineboom
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/use-shiny-fleetly-set-up-visual-prototype-system/#comment-7317">
            利用shiny包快速搭建可视化原型系统
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            胡家新
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/r%e8%af%ad%e5%8d%83%e5%af%bb%e7%ac%ac%e4%b8%89%e6%9c%9f%ef%bc%9a%e5%bc%a0%e6%97%a0%e5%bf%8c%e7%a9%b6%e7%ab%9f%e7%88%b1%e8%b0%81%ef%bc%9f/#comment-7316">
            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            <a class="url" href="http://www.zijiacha.com/category.php?id=6" rel="external nofollow">
             南糯山普洱茶
            </a>
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/r%e8%af%ad%e5%8d%83%e5%af%bb%e7%ac%ac%e4%b8%89%e6%9c%9f%ef%bc%9a%e5%bc%a0%e6%97%a0%e5%bf%8c%e7%a9%b6%e7%ab%9f%e7%88%b1%e8%b0%81%ef%bc%9f/#comment-7315">
            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            J
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/05/value-of-the-reputation-from-the-data/#comment-7314">
            数据告诉你：高信誉的卖家应该收高价，还是收低价？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            <a class="url" href="http://gg" rel="external nofollow">
             Hilda
            </a>
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2013/01/drawing-map-in-r-era/#comment-7311">
            R时代，你要怎样画地图？
           </a>
           》
          </li>
         </ul>
        </aside>
        <aside class="widget widget_rss" id="rss-282869971">
         <h3 class="widget-title">
          <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topics/feed/">
           <img src="http://cos.name/wp-includes/images/rss.png"/>
          </a>
          <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topics/feed/">
           中文论坛新帖
          </a>
         </h3>
         <ul>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/417372/">
            处理时间数据和产生时间序列的问题
           </a>
          </li>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/6790/">
            《统计陷阱》下载 （How to lie with statistics）
           </a>
          </li>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/818/">
            统计学的世界（第五版）
           </a>
          </li>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/16574/">
            class(x) 返回值值是AsIs,AsIs代表什么，有什么用处？
           </a>
          </li>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/417366/">
            如何用R绘制一个分类算法的决策规则
           </a>
          </li>
         </ul>
        </aside>
        <aside class="widget widget_text" id="text-2">
         <h3 class="widget-title">
          登录/RSS
         </h3>
         <div class="textwidget">
          <ul>
           <li>
            <a href="http://cos.name/wp-admin/">
             登录
            </a>
           </li>
           <li>
            <a href="http://cos.name/feed/" title="使用 RSS 2.0 同步站点内容">
             文章
             <abbr title="Really Simple Syndication">
              RSS
             </abbr>
            </a>
           </li>
           <li>
            <a href="http://cos.name/comments/feed/" title="RSS 上的最近评论">
             评论
             <abbr title="Really Simple Syndication">
              RSS
             </abbr>
            </a>
           </li>
          </ul>
         </div>
        </aside>
       </div>
       <!-- .widget-area -->
      </div>
      <!-- .sidebar-inner -->
     </div>
     <!-- #tertiary -->
    </div>
    <!-- #main -->
    <footer class="site-footer" id="colophon" role="contentinfo">
     <div class="site-info">
      版权所有 © 2014 统计之都 | 由
      <a href="http://wordpress.org/">
       WordPress
      </a>
      构建 | 主题修改自
      <a href="http://wordpress.org/themes/twentythirteen">
       Twenty Thirteen
      </a>
     </div>
     <!-- .site-info -->
    </footer>
    <!-- #colophon -->
   </div>
   <!-- #page -->
   <p style="margin:0;padding:0;height:1px;overflow:hidden;">
    <a href="http://www.wumii.com/widget/relatedItems" style="border:0;">
     <img src="http://static.wumii.cn/images/pixel.png"/>
    </a>
   </p>
  </div>
 </body>
</html>